Bevisning av Herons formel

Nedanstående innehåll är skapat av Mimers Brunns besökare. Kommentera arbete

Sammanfattning

Jag har i detta miniprojekt berättat historien om Heron. Jag har bevisat Herons formel för beräkning av arean av trianglar och även bevisat att den kan generaliseras till fyrhörningar, för att göra sistnämnda bevis behöver man att fyrhörningen är inskriven i en cirkel.




Historik

Heron från Alexandria var en grekisk matematiker och fysiker. Man vet ingenting om hans liv men man tror att han verkade mot slutet av det första århundradet efter Kristus.
Detta grundar man bland annat på att Heron i ett av sina verk nämner en nyligen inträffad solförmörkelse som anses ha inträffat år 62 efter Kristus.
Heron efterlämnade ett stort antal skrifter som ger oss viktiga upplysningar om det tekniska och mekaniska under antiken. Det är i bok av Metrika som hans berömda formel återfinns. Denna bok handlar om areamätning av bland annat trianglar och fyrhörningar.
Herons verk finns utgivna i fem band, med tysk översättning:
Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia (1899–1914).




Problemformulering

Uppgift 4243 i matematik 3000 kurs CD

Herons formel. Den grekiske matematikern Heron (ca 100 eKr) har fått ge sitt namn åt en formel för beräkning av en triangels area A om Jag man vet sidornas längder a, b och c.
där
Bevisa denna formel och undersök om den kan generaliseras till fyrhörningar.


Lösning och använda metoder


Jag börjar med att bevisa Herons formel för triangeln:

Sats:
Antag att sidorna i en triangel är a, b och c, att dess area A och att dess halva omkrets är .
Då är .


Bevis:

Kalla vinkeln mellan sidorna b och c för . Då är 2bccos = b2 + c2 - a2 enligt cosinussatsen
( a2 = b2 + c2 -2bccos ) och kvadrering av leden ger att

* (2bc)2 cos2 = ( b2 + c2 - a2 )2.

Enligt areasatsen är 4A = 2bcsin. Kvadrering ger nu att

16A2 = (2bc)2sin2 och eftersom sin2 = 1- cos2 så är

16A2 = (2bc)2 (1-cos2) = (2bc)2 - (2bc)2cos2 = [*] = (2bc)2 - ( b2 + c2 - a2 )2 =

= [ konjugatregeln: x2 - y2 = (x + y)(x - y) ] =

= (2bc + b2 + c2 - a2)(2bc - b2 - c2 + a2) =

= [ kvadreringsregeln: x2 + 2xy + y2 =(x + y)2, x2 - 2xy + y2 =(x - y)2 ] =

= (( b + c )2 - a2)(a2 - ( b - c)2) = [ konjugatregeln: x2 - y2 = (x + y)(x - y) ] =



= ((b + c) + a )( (b + c) - a)(a + ( b - c))(a - (b - c)) =

= (a + b + c)(-a + b + c)(a + b - c) (a - b + c) =



[2S = a + b + c, a + b = 2S - c, a + c = 2S - b, b + c = 2S - a ]



Vilket bevisar satsen.


Koll:

16A2 = 16S(S - a)(S - b)(S - c)

A =

Kan Herons formel generaliseras till fyrhörningar?


Jag ska nu undersöka om Herons formel kan generaliseras till fyrhörningar.
Jag testar om Jag kan använda sambandet för omkretsen, men lägger till den fjärde sidan:



Till vår hjälp använder Jag oss av en fyrhörning som är inskriven i en cirkel.

Låt l vara diagonalen av fyrhörningen och låt  och  vara de motstående vinklarna till diagonalen.
Motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel är tillsammans  rad (eller 180).
Allstså kan Jag skriva  +  =  som ger  =  -  .

[cosinussatsen: a2 = b2 + c2 - 2bccosA]

Cosinussatsen ger sambanden:

(1)
(2)

[cos() = cos( - ) = -cos ]: (2)

Eliminera diagonalen l :
(1) = (2):



Kvadrera båda led: *

[Areasatsen: T = ]
Multiplicera båda leden med 2:
4A = 2sin (ab + cd)

Kvadrera båda leden:
16A2 = 4sin2 (ab + cd)2

[Trigonometriska ettan: sin2 = 1 - cos2 , ger 4sin2 = 4 - 4 cos2]

16A2 = 4sin2 (ab + cd)2 = (4 - 4 cos2)(ab + cd)2 =

= 4(ab + cd)2 - 4 cos2 (ab + cd)2 =

[sätt in * ]

= 4(ab + cd)2 - (b2 + a2 - c2 - d2)2 = (2(ab + cd))2 - (b2 + a2 - c2 - d2)2 =

[Konjugatregeln: (x + y)(x - y) = x2 - y2]

= (2(ab + cd) + b2 + a2 - c2 - d2)( 2(ab + cd) - b2 - a2 + c2 + d2) =

= (2ab + 2cd + b2 + a2 - c2 - d2)( 2ab + 2cd - b2 - a2 + c2 + d2) =

[Kvadreringsregeln: x2 +2xy + y2 = (x + y)2 och x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 ]

= (a2 + 2ab + b2 -( c2 - 2cd + d2)( - (a2 - 2ab + b2)+ c2 + 2cd + d2) =

= ((a + b)2 - (c - d)2) ((c + d)2 - (a - b)2) =

[Konjugatregeln: (x + y)(x - y) = x2 - y2]

= (a + b + c - d) (a + b - c + d) (a - b + c + d) (-a + b + c + d) =



[2S = a + b + c + d, 2S - d = a + b + c , 2S - c = a + b + d,
2S - b = a + c + d, 2S - a = b + c + d ]

= (2S - d - d) (2S - c - c) (2S - b - b ) (2S -a - a) =

= (2S - 2d)(2S - 2c)(2S - 2b)(2S - 2a) = (2S - 2a)(2S - 2b)(2S - 2c)(2S - 2d) =

= 2(S - a)2(S - b)2(S - c)2(S - d) = 16(S - a)(S - b)(S - c)(S - d)


Alltså har Jag fått fram uttrycket:

16A2 = 16(S - a)(S - b)(S - c)(S - d)

A2 = (S - a)(S - b)(S - c)(S - d)

där

S > a, S > b, S > c, S > d


Denna area formel för en godtycklig fyrhörning påminner starkt om Herons formel för arean av en triangel, dvs, där

Diskussion av resultatet


Metoden Jag har använt är att söka på nätet och i annan litteratur efter mer materiel om Herons formel.
Jag fick genom det materiel Jag hittade idéer om hur beviset skulle skrivas. Genom att använda cosinussatsen, areasatsen , konjugatregeln och kvadreringsregeln kommer Jag fram till att arean av triangeln är .
Kan beviset generaliseras till fyrhörningar?, var nästa fråga.
Om Jag tittar på en godtycklig fyrhörning och delar av den med en diagonal så får Jag två trianglar med gemensam diagonal.
Det betyder att Jag kan hitta samband, för Jag har nu två trianglar med gemensam diagonal, och varje triangelarea kan beräknas med Herons formel, som bevisat.

Jag vill nu använda oss av samma beräkningssatser och regler som tidigare, då måste Jag på något sätt hitta samband som gäller för vinklarna i de båda trianglarna.
För att få ett hållbart samband så skriver Jag in fyrhörningen i en c...