Komplexa tal

Nedanstående innehåll är skapat av Mimers Brunns besökare. Kommentera arbete

Inledning - talens utveckling

Eftersom utvecklingen hela tiden går framåt så även inom matematiken behövs det ibland införas nya tal sorter. Först användes bara de naturliga talen (heltal) N

När ekvationen skulle lösas räcker inte de naturliga talen och de negativa talen Z införas. De brukar kallas de hela talen.


Naturligtvis behövs det fler tal eftersom det måste gå att lösa ekvationen
För att lyckas med detta infördes de rationella talen (bråktalen) Q
Q= {alla tal på formen a/b, där a och b tillhör z≠0}

Naturligtvis räcker inte de rationella talen till heller eftersom det finns tal som inte går att skriva på formen a/b tex. Π. Därför måste de irrationella talen, R införas. R={alla rationella och irrationella tal}
Vi vill nu kunna lösa ekvationen för att kunna detta måste vi ”uppfinna” nya tal. De imaginära talen R


Nya tal

För att kunna lösa ekvationen börjar vi i ett talsystem där x-axeln kallas reellaxel och y-axeln kallas imaginär axel.


För att kunna beskriva vilket tal som är imaginärt och vilket som är reellt brukar (1;1,5) skrivas som (1;1,5i). Ett tal i detta talsystem kallas för ett komplext tal och då kallas följaktligen talplanet för det komplexa talplanet.
Komplexa tal omfattar även de reella talen. Talet 2 är då följaktligen ett komplext tal pga det kan skrivas (2;0i) vilket betyder att det har 0i och därför bara är en punkt på den reella axeln. De komplexa tal som inte är reella är icke-reella.
(0;1)=det imaginära talet 1i=i
(0;b)=det imaginära talet bi
(a;b)=ett godtyckligt komplext tal

Räkning med komplexa tal
För kunna räkna med de komplexa talen måste vi först börja räkna med de reella talen. Detta för att se om det går att behålla samma räknelagar även för komplexa tal.

Addition

Vi prövar nu med de komplexa talen.


Multiplikation

Även här används samma räknelagar som vid multiplikation med reella tal.
Vi prövar med ”vanliga” tal

Vi gör samma sak med variabler för att få en generell metod att använda.


Nu prövar vi med och använder ovanstående generella metod

Vi har just bevisat att det går att räkna ut genom att använda komplexa tal.
Dvs. att


Begrepp

Real och imaginär del

X-axeln kallas den reella axeln och betecknas Re. Y-axeln kallas imaginära axeln och betecknas IM

• Talet (6,10) motsvarar det komplexa talet
• Realdelen av Z är 6:an och skrivs
• Den imaginära delen av z kallas imaginärdelen och skrivs (inte som )


Räkneuppgifter
Ange realdel och imaginärdel
1a) -7+17i b) 17-6i c) -7i d) -2
e)7-i f)-7+i g) 7i h)i

Svar

Absolutbelopp

Absolut beloppet är avståndet frånpunkten (a,b) till origo

Avståndet kan räknas ut med Pythagorassats enl. följande

Räkneuppgifter
Räkna ut det exakta beloppet av
2a)z=3+4i b)z=-9+12i c)z=0+9i d)z=2+4i e)z=-4i f)z=1+i

svar

Komplexa konjugatet
Det komplexa konjugatet är spegelvändning av det vanliga konjugatet z=a+bi. Det komplexa konjugatet skrivs


Naturligtvis har z och samma absolut belopp (avstånd till origo).

Räkneuppgifter
Ange om
3a) z=7+i b)z=14-i c)z=4i d)z=15 e)z=7-i
Svar


För att kunna räkna med komplexa tal behövs bara en enda räknerege

Räkneövningar
Z=7-4i U=-18+i
4a)z+u b)z-u c)zu d)z2
Svar


Vi prövar även att räkna med bara variabler för att få generella former.
Z=a+bi U=c+di
5a)z+u b)z-u c)zu d)z2
Svar


Förenkla uttrycket och skriv på formen a+bi
Z=c+di
5a) b)
Svar

Vi konstatera att produkten av ett komplext tal och dess konjugat blir ett reellt tal. Detta utnyttjas när man vill förenkla kvoten av två komplexa tal.

Ex)

Vi vill skapa en reell nämnare och förlänger därför med nämnarens konjugat.

Vi prövar nu med bara variabler för att hitta en generell formel


C1232
Visa att där; k= reellt och Bestäm även k

Historia bakom de komplexa talen
Anledningen till att man använder två benämningar för samma sak har en historiskförklaring. De komplexa talen var till en början mystiska, overkliga och svåra att arbeta med. Nu vet vi att de inte är något mystiskt med dessa tal utan vi kan räkna med dem.

Det dröjde ganska länge innanmatematiker började acceptera komplexa tal som individuella matematiska objekt. Detta pga. att de negativa talen trädde in relativt sent i amtematik världen. På 1500-talet började man acceptera negativa tal som rötter till en ekvation ( dvs att kan vara både +4 och – 4. De negativa rötterna kallades för falska och fiktiva.
En matematiker som har stor betydelse för de komplexa talens historia är Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Han föreslog benämningen komplexa tal för tal a+bi=z. Han var den som började se komplexa tal som punkter i ett plan. Tyvärr lämnade han aldrig någon teori över de komplexa funktioner men i hans efterlämnade skrifter finns bevis för olika satser som bevisades långt senare av bla Cauchy

En annan mycket viktig matematiker som har betydelse för de komplexa talen är schweizaren Leonhard Euler (1707-1788) han var den som införde år 1777. Han lyckades även genom sitt samband mellan konstanterna beräkna logaritmen för ett negativt tal och visa att det har oändligt många värden. Logaritmer till negativa tal hade varit ett problem inom matematiken en längre tid. Vissa ansåg att negativa tal saknade logaritm och andra ansåg att logaritm...