En öving om Binomialfördelning

En öving om Binomialfördelning

Man intresserad ett flygplan med flera reaktorna.

det antas att risken för fel på en av reaktorerna är oberoende av tillståndet för de andra reaktorerna

p är sannolikheten för fel i en reaktor

det antas att flygplanet kan fortsätta att flyga om minst hälften av dess reaktorer är inte ner

1) X hänför sig till antalet reaktorer ut på en bireaktor (en bireaktor är ett flygplan med två reaktorer)

a) Vilka är de möjliga värden för X ?

den stokatiska variabeln kan ta värdena 0, 1, 2

X={0,1,2}

b) vad är sannolikhetsfördelningen av X ?

X följer binomialfördelning B(n=2,p) ; parametrar är n=2 och p

Vi kan representera de olika möjligheterna med sannolikhet träd

F*  är händelsen : ”reaktorn Funka inte”

F är händelsen : ”reaktorn Funka”

         SANNOLIKHET TRÄD 

Första reaktor           andra reaktor                       möjliga resultat

                                                                       F*        = = =>             F* F*

                                   F*                    <              

                                                                       F          = = =>             F*F

    <

                                                                       F*        = = =>             FF*

                                   F                      <

                                                                       F          = = =>             FF

-------------------------------------------------------------------

X=k         |          0          |           1        |         2          |       

------------------------------------------------------------------

P(X=k)    |       P(X=0)     |      P(X=1)     |      P(X=2)     |       

-------------------------------------------------------------------

P(X=0)=         2C0 ×p^0×(1-p)^(2-0)           = 1 ×1 ×(1-p)²             =          (1-p)²

P(X=1)=         2C1 ×p^1×(1-p)^(2-1)           = 2 ×p ×(1-p)²             =          2p(1-p)²

P(X=2)=         2C2 ×p^2×(1-p)^(2-2)           = 1 × p² ×(1-p)^0        =          p²

nCk är binomialkoefficienten. Det är antalet vägar som leder till resultat.

till ex : 2C1 =2 ;  det är 2 vägar som leder till resulat (F*F och FF*)

Pascals triangel

            k         

            0  1  2  3  4     

n 0       1 

   1       1  1

   2       1  2  1

   3       1  3  3 1

   4       1  4  6  4  1

c) bestämma P (X <= 1) som en funktion av p?

P(X<=1) = P(X=0)+P(X=1)

=(1-p)² +2p(1-p)²

=(1-p)(1-p+2p)

=(1-p)(1+p)

=1-p²

2) Y hänför sig till antalet reaktorer ut på en fyr motorig flypplan (ett flygplan med fyra reaktorer)

a) Vilka är de möjliga värden för Y ?

Y={0,1,2,3,4}

Y~B(n=4,p)

b) vad är sannolikhetsfördelningen av Y ?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Y=k         |             0          |           1          |         2           |        3             |         4          |

----------------------------------------------------------------------------------------------------

P(Y=k)    |       P(Y=0)     |      P(Y=1)     |      P(Y=2)     |        P(Y=3)    |     P(Y=4)    |

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

P(Y=0)=         2C0 ×p^0×(1-p)^(4-0)           = 1 ×1 ×(1-p)^4          =          (1-p)^4

P(Y=1)=         2C1 ×p^1×(1-p)^(4-1)           = 4 ×p ×(1-p)^3          =          4p(1-p)^3

P(Y=2)=         2C2 ×p^2×(1-p)^(4-2)           = 6 × p² ×(1-p)²          =          6p²(1-p)²

P(Y=3)=         2C3 ×p^3×(1-p)^(4-3)           = 4 × p^3 ×(1-p)^1     =          4p^3(1-p)

P(Y=4)=         2C4 ×p^4×(1-p)^(4-4)           = 1 × p^4 ×(1-p)^0     =          p^4

c) bestämma P (Y <= 2) som en funktion av p?

P(Y<=2) = P(Y=0)...