De fyra olika funktionerna

Nedanstående innehåll är skapat av Mimers Brunns besökare. Kommentera arbete

Vad är en funktion?
Funktion är något som beskriver ett samband mellan X och Y. Varje X som är en oberoende variabel ger exakt ett Y som är en beroende variabel.
En funktion kan se ut som
f(x) = x^2
Mängden av x- värden eller rättare sagt de tillåtna x- värdena kallas funktionens definitionsmängd.
– 4 < x < 6
De erhålla y- värdena kallas funktionens värdemängd.


”Man kan även beskriva ovanstående funktionen på en tabell”.
Funktionen f
x y
– 3 9
2 4
3 9
5 25

Linjär funktion
En linjär funktion definieras av typen
F(x) = ax + b eller f(x) = kx + m
och grafen till sådana funktioner är alltid en rätt linje.
Riktningskoefficient tyder på linjens lutning och betecknas med k. Koefficient kallas även lutning eller k- värde för linje som övergår från (X1, Y1) till (X2, Y2).
För att erhålla k- värde skall ändring i y som skrivs y och utläses delta- y delas på ändring i x som skrivs x och utläses delta- x.
K = ändring i y/ ändring i = (x2 – x1) / (y2 – y1) = y / x .


När en graf har två funktioner eller två linjer är de två linjerna parallella och bara om k1 = k2 , och är vinkelrätta då och bara då k1* k2 = -1.
När i en funktion saknas x- termen saknas eller x = a är rätt linjen parallell med y- axeln och rätt linjen är horisontell om y = b.
Ex: Linjen g går genom punkterna (0, -1) och (3, 3).
a) Beräkna k-värde för linjen och bestäm funktionen för den linje och rita grafen.

K= 3-(-1)/ 3-0 = 4/3
(y – y1) = k *(x – x1)
(y – (-1)) = 4/3*(x – 0)
y + 1 = 4/3*x
y = 4/3x – 1 f(x) = y vilket ger f(x) = 4/3*x – 1



Rät linjens ekvationer kan uttryckas på två olika sätt.
1. k-form y= k*x + m
2. Enpunktsform (y – y1) = k(x – x1)



Andragradsfunktion

Andragradsekvation är en funktion av typen:
F(x) = x^2 + 2x + 4 och allmänt kan skrivas f(x) = ax^2 + bx + c som är en polynomfunktion av grad 2.
Grafen till sådana funktioner kallas en parabel som är en kurva som öppnar sig uppåt (minimipunkt) eller nedåt (maximipunkt).
Dessutom om funktionen har en positiv koefficient framför x^2 (a>0) har kurvan en minimipunkt och om koefficienten är negativ framför x^2 (a<0) har kurvan en maximipunkt.
En vertikal linje som delar kurvan mitt itu och ligger mitt emellan två punkter med samma y-koordinat kallas symmetrilinje.

Rötterna till ekvationen (y=0) kallas funktionens nollställen eller de x- värden som gör att funktionsvärdet blir noll kallas nollställen.

Ex. Figuren visar grafen till andragradsfunktionen y=x^2 + 2x – 3.

a) Bestäm kurvans maximi- eller minimipunkt och ange symmetrilinjens ekvation till kurvan.
b) vad skär motsvarande kurvan x- axeln?
Lösning:
a) Koefficient för x^2 är positiv och kurvan har en minimipunkt.

y= x(x + 2) – 3
y= -3 för både x=0 och x= -2 då ligger symmetrilinje mitt emellan dessa
x- värde.
x= 0 – 2 / 2= -1
Symmetrilinjen har ekvationen x= -1

x= -1 ger y= -5
Minimipunkt: (-1, -5)

b) Anta att f(x) = 0 vilket innebär det att vi ska lösa ekvationen x^2+2x –3=0
x = -1\pm sqrt (1+3)
x = -1\pm 2 x_1 = 1 x_2 = -3
Kurvan skär x- axeln i punkterna (1 , 0) och ( -3 , 0)



Exponentialfunktioner

Exponentialfunktion är en funktion av typen f(x) = C*a^x där a och C är konstanter ( a >0 , a \ne 1) och den oberoende variabeln x finns i exponent.

Med hjälp av dessa funktioner kan man lösa tillväxtproblemen som har en procentuell förändring som är konstant.
Man kan använda exponentialfunktionen som modell för att lösa sådana problemen.

Graf till en exponentialfunktion kan beskrivas bättre om ett exempel tas fram.


Ex. ”rita grafen till funktionen
f(x) = 2^x ”
Lösning:
För att kunna rita grafen krävs en värdetabell.
x = 0 ger y = f(x)
x = -1 ger y = 0,5
x = 0 ger y = 1
.
.
x = 3 ger y = 8







”Funktionen är växande.”

För att kunna lösa exponentialekvationer algebraiskt exakt skall logaritm användas.

Ex. Problem 1543 i Läroboken, sidan 65 .
I mitten av 1980 var folkmängden i Mexico 69 miljoner. Tillväxten antas sedan vara 2 % per år.
a) Ställ upp en formel för beräkning av Mexicos folkmängd.

b) Vilken folkmängd ger formeln för år 2000?

c) Vilket år kommer folkmängden i Mexico att uppgå till 110 miljoner?

Lösning:

a) Förändringsfaktorn är 1,02
Folkmängden år 1980 är 69 miljoner vilken ger
y= 69* 1,02^x

b) År 2000 är 20 år efter år 1980.
y= 69*1,02^20 så y=102,530 y \approx 103 miljoner

c) 110 = 69*1,02^x ( Båda delen divideras på 69)
1,02^x=110 \ 69

För att lösa den här exponentialekvationen måste både delen logaritmeras

Log_1,02^x=log _(110 \ 69)
x* lg_1.02=lg_ (110\ 69)
x= lg_( 110 \ 69) \ lg_1,02
x=23,55 x \approx 24

Folkmängden i Mexico uppnås 110 miljoner 24 år efter året 1980, det vill säga
år 2004.


Potensfunktioner

En potensfunktion är en funktion som är lik en exponentialfunktions form ( f(x) = C*a^x) fast exponenter i dess funktion” kan vara vilket tall som helst” t.ex.
f(x) = x 2,3
f(x) = 3x 5

Som syns ingen av exponenterna ovan har ett naturligt tal.
Grafen till dess funktion kan beskrivas så här:

Ex.” Rita grafen till funktionen”
.
Lösning:
F(x)= x^0,5
Intervallet för x eller de tillåtna värden för x ska vara positiva tal eller med andra ord x \ge 0 eftersom ett negativ tal aldrig kan befinna sig under kvadrat tecken för att funktionen är då odefinierad och ”man kan inte ta rutten ur ett negativ tal”.

x = 0 ger f(0) = 0
x = 1 ger f(1) = 1
x = 2 ger f(2) = 1,4
x = 3 ger f(3) = 1,7
.
.
x = 9 ger f(9) = 3

Ju större tal väljer man för x desto större tal erhåller man för f(x) vilket innebär detta att funktionen är stigande.



För att kunna lösa problem inom potensekvationer ska man använda potenslagarna.

Ex. läroboken, sidan 57, problem B1461
I...