Relevansuppgift - Pythagorean Theorem (Pythagoras sats)

OBS, hela uppgiften med rätta källhänvisningar samt rätta bifogade bilder hittas här: (https://drive.google.com/file/d/1-VpiLDvyavIXMFPxFLRKE0PReTTviMmJ/view?usp=sharing)

Relevansuppgift - Pythagorean Theorem



I denna korta uppsats kommer jag nämna två olika bevis för pythagoras sats samt nämna
förkunskaper krävs för att förstå sig på dessa och även jämföra dom. Jag kommer även nämna
dess ursprung och resonera kring varför just matematiken frodades under antiken och nämna
yrken som idag använder sig av pythagoras sats.


Förord bevis 1 - Geometriskt:
Förkunskaperna man behöver för att kunna förstå det här beviset är inte avancerade. Man
behöver grundkunskaper kring geometri samt hur man räknar ut area och vad en potens är
och hur man räknar med dom.

Bevis 1:
12
Första beviset för pythagoras sats är baserat på att man formar två kvadrater av fyra
rätvinkliga trianglar med samma mått vardera. Ena kvadraten kallar vi ​X ​och den ska
ha trianglarna vinklade respektive .

Den andra kallar vi ​Y ​och den ska ha trianglarna med hypotenusan mot varandra i två
par där ena i paret av två trianglar bildar hörnet och det andra paret likadant fast i det
andra hörnet av kvadraten. Vi kallar vardera kateter i trianglarna ​a ​och ​b ​samt
hypotenusan för ​c​. Om vi utgår från pythagoras sats vet vi att ​a ​i kvadrat plus ​b ​i
kvadrat borde bli ​c ​i kvadrat. Alltså:

I kvadrat ​X​ kan vi se att ifall vi tar två av trianglarnas hypotenusor gånger varandra får vi
arean av kvadraten ​C​ som bildats i mitten av kvadraten ​X​. Vilket kan betecknas som:

Alltså är kvadraten ​C’​s area .
I kvadraten ​Y​ bildas en kvadrat som vi kan kalla ​B​. För att få ut arean av den
multiplicerar vi kateterna ​b ​med varandra och får då . Den mindre gråa kvadraten
kan vi kalla kvadrat ​A​ och har arean vilket är detsamma som . Eftersom att
kvadraten ​Y ​och ​X​ har samma längd på sina sidor har dom även samma area.
Dom har även lika många samt stora trianglar i sig vilket betyder att
kvadraten C i kvadrat ​X ​har samma area som kvadrat ​A​ och kvadrat ​B​. Så
1
​Helena Nilsson, “1b 4.2.1 Pythagoras sats”, ​https://www.youtube.com/watch?v=pIn9-eFT-hI​, 18.12.2018
2
​Angie Head, “Pythagorean Theorem”,
http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMT668.Student.Folders/HeadAngela/essay1/Pythagorean.html​,
18.12.2018






arean har samma area som och tillsammans och kan betecknas som:

Utifrån det här kan vi då dra slutsatsen att pythagoras sats gäller.

Förord bevis 2:
Förkunskaper man behöver för att förstå bevis 2 är grundläggande kunskaper inom geometri,
kunskap om förkortnings reglerna, reguladetri, likformighet samt förståelse för vad en potens
är och hur man använder dem.



Bevis 2:
3
Vi har en rätvinklig triangel där vi kallar kateterna ​a​ och ​b​ samt hypotenusan ​c​. Vi
kallar även triangelns hörn för ​A, B​ och ​C​.

Därefter drar vi en linje från hörn ​A​ dit där den möter hypotenusan och har en
vinkel på i förhållande till hypotenusan. Punkten där strecket vi precis gjorde möter
hypotenusan kallar vi för ​D​.
Sträckan ​DC​ kallar vi för ​d​ och sträckan ​DB​ för ​e​. Nu har vi 3 stycken trianglar,
och .
Eftersom att trianglarna och delar samma vinkel i hörnet av ​C​ är
dom likartade och vi kan betecknas som:

Utifrån detta kan vi beteckna kopplingen mellan hypotenusan på vardera triangel.

Sträckan ​CA​ är detsamma som sträckan ​a​, sträckan ​CB​ är densamma som sträckan ​c​ och
sträckan ​CD​ är densamma som ​d​.

Utifrån detta kan vi förenkla uttrycket ovan och får vi följande:

Efter detta gör vi detsamma fast med triangeln och . Båda trianglarna delar
samma vinkeln i hörnet ​B​. Båda är likartade och kan därför skrivas som:

Nu gör vi detsamma som ovan:
’
I det här uttrycket är sträckan ​BA​ samma som ​b​, ​BC​ samma som ​c​ och ​BD​ samma som ​e​.
3
​Khan Graveyard, “Depraceted Pythagorean Theorom proofs”,
https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geometry-pythagorean-theorem/basic-geometry-pythagore
an-proofs/v/garfield-s-proof-of-the-pythagorean-theorem​, 18.12.2018








Utifrån detta kan vi förenkla uttrycket till:

Nu kan vi addera dessa två uttryck:

Eftersom att sträckorna ​e​ och ​d​ tillsammans är sträcka ​c​ kan vi förkorta uttrycket på följande
sätt:

Om vi sedan tar bort det vi förenklade får vi fram:

Med detta har vi bevisat pythagoras sats.

Jämförelse av bevisen:
4
Båda bevisen är baserade på samma rätvinkliga trianglar och sättet vi benämner och använder
trianglarna är detsamma. En skillnad är dock hur i att ena beviset baseras på area för att
bevisa formeln medans i det andra använder vi algebraiska uttryck istället. Så med andra ord
krävs en bredare och större kunskap kring geometri och area i bevis 1 medans i bevis 2 krävs
en större förståelse och kunskap för algebra och hur man att bland annat förkortar algebraiska
uttryck.

Från ett personligt perspektiv samt vad jag tror att andra känner är bevis 1 enklare att förstå
sig på och förstå hur det fungerar medans bevis två kräver mer ansträngning och större
kunskap inom matematiken. Dock skulle jag säga att bevis 2 är på något sätt mer trovärdigt
på så sätt att man kan bevisa och förklara varje steg på ett mer matematiskt sätt jämför med
bevis 1 där man använder sig mer utav ord och bilder.

Relevans - Antikens matematik
Under antiken utvecklades matematiken till stora längder och la grunden till nästan allt vi vet
och använder av oss idag. Men vilka grunder var det som gjorde att just matematiken under
antiken var så framgångsfullt?

Under den största delen av människans levnad har vi kunnat simpel matematik som att till
exempel räkna antal kottar eller hur många boskap man ägde. Men när skriften och mera
sofistikerade och avancerade samhällen växte fram hade även matematiken sin framgång. Nu
när man kunde skriva ner matematiken på papper och andra material och på så sätt lösa
problem som hade att göra med: astronomi, jordbruk, bokföring och konstruktion att göra.
Eller som Dr. Martha Stillman skriver i artikeln “The Ancient Origins of Matematics” att vi
5
4
Luke Mastin, “Greek Mathematics”, ​https://www.storyofmathematics.com/greek.html​, 19.12.2018
5
​Martha Stillman, “The Ancient Origins of Matematics”,
https://onlinelearningtips.com/2014/03/the-ancient-origins-of-mathematics/​, 19.12.2018





alltid använt oss av någon form av aritmetisk räkning sedan dess att vi bodde i stammar. Men
att matematiken som vi har idag som utvecklades under bland annat antiken inte kunde
utvecklas förens skrift börjat brukats. Då skriften börjades använda kunde man skriva ner mer
information och utifrån det utvecklades matematiken och man kunde föra kunskapen vidare.

Egyptiska trianglar:
67
Egyptierna har genom tiderna nyttjat olika sorters trianglar och former för dessa. Ett av dom
kändaste exemplet är hur dom använde sig av regel 3,4,5. Vilket dom brukade redan innan
8
man bevisat och tagit fram pythagoras sats. Dom hade oftast en “harpedonaptai” vilket var ett
ett rep på 12 l.e. som man gjorde en triangel av som hade basen 3, höjden 4 och hypotenusan
5 och då bildades en rätvinklig triangel. Dom använde ofta den formeln för att konstruera
rätvinkliga hörn till bland annat fasader och byggnader vilket var väldigt avancerad
matematik och arkitekt för att vara den tiden.

Något annat jag skulle kunna koppla till egyptiska trianglar är pyramiderna, trots att det inte
finns några riktiga bevis på att dom använde sig av 3,4,5 regeln så skulle jag säga att dom
förmodligen gjorde det baserat på att deras imperium använde sig av just 3,4,5 regeln då
pyramiderna byggdes i just arkitektoniska förhållanden.
9

Pythagoras sats inom arkitekturen:
10
Några av områdena där pythagoras sats används idag är just arkitekturen och konstruktionen.
Säg att du till exempel har två linjer och du ska räkna ut längden på en linje som ska
diagonalt från den ena till den andra. I just sådana situationer används pythagoras sats idag.
Arkitekter använder sig av den för att till exempel få reda på hur stort ett diagonal tak ska
vara baserat på att dom vet höjden och bredden på det. Utöver det får då även byggarbetarna
något att arbeta med och räkna med pythagoras sats att allting blir rätt. Även fabriksarbetaren
som ska produce...