Pi

Nedanstående innehåll är skapat av Mimers Brunns besökare. Kommentera arbete

Sammanfattning



Det här ämnet valde jag eftersom jag fascinerades över talets historia och även hittade några naturfenomen som det var inblandat i. De frågeställningar jag hade var vilka områden det används inom, vem eller vilka som var först med att bestämma och använd sig utav det, samt om det finns några upprepningar i detta oändliga tal. Jag använde mig främst av facklitterära källor i sökandet efter information, men även Internet var användbart. Jag kom fram till att pi används inom trigonometri, geometri, sannolikhetsteori och i räkning med komplexa tal. Jag har hittat flera milstolpar inom pis historia, men den som först nedtecknade förhållandet mellan cirkelns omkrets och dess diameter, vilken pi betecknar, var egyptiern Ahmes, 1650 år f Kr. Det värde han fick fram ligger bara 1 % från det verkliga värdet (!). Även Arkimedes gjorde tappra försök under 300-200-talet f Kr. Han var bara 3 tiotusendelar ifrån det värde på pi som är känt idag!

1. Inledning

När vi anmälde oss till matematiktävlingen tidigare i år fick vi se en massa siffror uppsatta på anslagstavlan. Tre och ett halvt A4 var fullt med siffror, alla decimaler till talet pi. Alla dessa decimaler fick mig och många andra att undra om det aldrig sker några upprepningar. Nu när vi fick chansen att göra ett fördjupningsarbete inom området matematik gav det möjligheter att en gång för alla ta reda på om några upprepningar förekommer. Pi förekommer antagligen mycket oftare än vad jag och många andra med mig tror. Detta är en av anledningarna till att pi verkade vara ett så intressant område att jag valde detta speciella tal att göra ett fördjupningsarbete om.

1.1 Syfte

Syftet med den här rapporten blir att få svar på följande frågor:
· Inom vilka olika områden används pi?
· Vem/vilka var först att bestämma och använda talet?
· Finns det några upprepningar i talet pi?
· Vilka metoder har använts och vilka metoder används för att beräkna pi?

1.2 Metod och material

För att besvara de frågor som jag ställde mig i början av arbetets gång valde jag att blanda facklitteratur och Internet. Från böckerna kunde jag få en bättre historisk överblick och med hjälp av Internet kan jag få uppdaterade händelser kring talet. Ofta har böcker ett par år på nacken, vilket gör att nya händelser kring ämnet måste hittas någon annan stans. Jag hittade en väldigt bra bok som handlade enbart om talet pi. Denna blev min huvudkälla eftersom författaren lagt ner mycket arbete och själ i arbetet med boken.

2. Symbolen Л

Pi är den 16 bokstaven i det grekiska alfabetet och den bokstav i grekiskan som de flesta av oss känner till. Många känner igen symbolen och den förknippas ofta med olika delar av matematiken, exempelvis geometrin, trigonometrin, sannolikhetsteori och räkning med komplexa tal. Den är spridd över stora områden och människor i olika åldrar, allt ifrån elever på grundskolan till professorer har lärt känna den. Trots att pi har funnits länge så var det inte den ursprungliga symbolen för de användningsområden som den har idag.

Att man använder just symbolen pi kan bero på att det är den första bokstaven i det grekiska ordet för omkrets, périmeter.



3. Historia

Idag kan man tycka att det inte borde vara några problem att räkna ut kvoten man får om man dividerar cirkelns omkrets med dess diameter. Det kan med andra ord kännas lite svårt att erkänna att det är omöjligt. Det är nämligen definitionen för pi. Pi är ett irrationellt tal, vilket innebär att det är oändligt. Hur många decimaler man än tar med är det bara ett avrundat värde. Genom att testa sig fram kunde de tidiga civilisationerna antagligen lista ut att ett rep som lindades ett varv runt en cirkel var lite drygt tre gånger så långt som diameterns längd. Fortsatte de mäta kom de kanske till och med fram till att repets längd var mer än ⅛ men mindre än ¼ av hela omkretsen.

Det tidigaste nedtecknandet av det här förhållandet kommer från Egypten där en man vid namn Ahmes skapade Rhindpapyrusen. Detta skedde 1650 f Kr och där kan man läsa:
”Skär av 1/9 av en diameter och konstruera en kvadrat av resten; denna har samma yta som cirkeln. ” Detta medför att Ahmes räknar med att kvoten av omkretsen och diametern är 3,16049… Det är ganska otroligt med tanke på att det ligger mindre än 1 % ifrån det värde vi använder idag. Samma man noterade det första kända försöket att lösa ”cirkelns kvadratur”, närmare bestämt problemet att konstruera en kvadrat med samma yta som en cirkel. Det gör problemet till ett av världens äldsta problem. Det tog hela tre tusen år efter Ahmes nedtecknande innan benämningen på kvoten mellan omkretsen och diametern fick varken namn eller symbol.

Efter Ahmes noteringar av sina formuleringar dröjde det mer än tusen år innan någon ägnade särskilt många tankar åt förhållandet. Under tiden tyckte egyptier och babylonier att de hade en tillräcklig uppskattning för att kunna bygga hus och mäta mark. Ca 300 år f Kr tog emellertid frågan up igen, den här gången i Grekland. Det inledde en storhetstid för tänkandet när grekerna började fråga sig själva ”varför” och inte bara ”hur mycket” som tidigare. Den första grek som försökte hitta förhållandet var Anaxagoras. Enligt en annan grekisk matematiker lyckades han, fast Anaxagoras talade tyvärr aldrig om hur detta förhållande löd. Strax efter detta kom Anifonos och Bryson, också två greker, fram med en ny metod för att lösa problemet. Anifonos sade att om man tog en hexagon och fördubblade sidorna många gånger antog de att den till slut skulle bli en cirkel. Bryson utvecklade Anifonos metod och placerade en cirkel mellan två hexagoner som gått igenom den tidigare nämnda processen. Cirkelns yta skulle därför ligga mellan de två olika hexagonernas. De två matematikerna räknade trots deras banbrytande metod inte särskilt många decimaler eftersom dessa beräkningar var otroligt tidskrävande och komplicerad för sin tid. Denna metod använder jag senare när jag ska försöka räkna ut ett ungefärligt värde på pi.

Ett par hundra år senare började den välkände Arkimedes att studera cirklarna. Han valde samma metod som sina två föregångare, men inriktade sig istället för yta på omkrets. Han publicerade resultaten i sin bok och skrev att ”förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter är mindre än 3 1/7 men större än 3 10/71”. Arkimedes visste att han bra angett en övre och undre gräns, men tar man medeltalet mellan de två gränserna får man ett tal som är mindre än 3 tusendelar från det korrekta värdet.

Mycket senare, 1529, använde sig fransmannen Viéte av samma metod. För att få ett exaktare tal räknade han ut omkretsen på hexagoner vars sidor han fördubblat 16 gånger. Han fick då ett värde som var historiens dittills exaktaste mätning av pi. Viétes stora insats i pis historia var att han beskrev talet som en oändlig produkt. Han kunde med hjälp av vissa likheter beskriva pi som produkten:
½
2/Π = (√½) • ((√½ + ½)√½)) • ((√½ + ½)√½ + ½ (√½))) …

Han kan också ha varit den första som använde en oändlig produkt för att beskriva något överhuvudtaget.

1882 var också ett stort år för forskningen om pi. Ferdinand von Lindeman visade nämligen att pi är ett transcendent tal. Detta innebär att pi inte är lösning till någon polynomekvation med heltalskoefficienter. Detta kan ju låta lite luddigt, men för att visa hur det fungerar kan man ta följande exempel:

Aπm + bπn + cπo + … = 0
Där koefficienterna a, b, c… och exponenterna m, n, o… är rationella tal. Lindeman bevisade sedan att talen inte kan vara algebraiska tal och inte heller icke-reella tal. Detta medför att eix + 1 = 0 inte kan vara möjligt när x är ett algebraiskt tal (i vet vi är ett algebraiskt tal). Leonard Euler hade under
1700-talet föreslagit att pi var transcendent och grundat ekvationen eiπ + 1 = 0. Därför kan inte π vara algebraiskt och är därför transcendent.

På 1970-talet kom ett annat stort framsteg i beräkningen av pis decimaler. Nu hade tekniken utvecklats rejält och matematikerna hade mycket hjälp av datorer. Gauss hade redan under 1870-talet funnit en algoritm som han inte använde för att beräkna pi eftersom det hade varit väldigt avancerade räkneoperationer att genomföra utan en dators hjälp. På 1970-talet publicerade Eugene Salamin en artikel där han presenterade en kvadratisk konvergerande algoritm till syfte att beräkna pi. Det betyder att antalet signifikanta siffror fördubblas efter varje steg i beräkningen. Detta kan jämföras med äldre formler som gav 1, 2 eller kanske 10 ny siffror för varje beräkning. Intressant kuriosa är att australiensaren Richard Brent utvecklade i stort sett samma ekvation nästan samtidigt som Salamin.

Tack vare den här algoritmen, som ofta kallas Gauss-Brent-Salamin-algoritmen, och nya kraftfulla datorer sköt piberäkningen i höjden. 1982 Beräknade japanska matematiker 8 388 608 (223) siffror.

Under 80-talet började också de ukrainska bröderna Chudnovsky beräkna decimaler i sitt nya hemland USA. Strax efter sitt första rekord i decimalberäkning (1989 beräknade de hela 480 miljoner decimaler) började de bygga en egen superdator i sin lägenhet. Den var väldigt avancerad och kunde genomföra många miljarder operationer varje sekund.

Det största problemet när man beräknar decimaler och annat i denna skala med hjälp av datorer är de eventuella fel som kan uppstå. Det kanske handlar om 1 fel på en miljard operationer, men blir en siffra fel är sannolikheten stor att de följande också är felaktiga.

Det hela har varit en kapplöpning främst mellan de japanska och de amerikanska matematikerna i jakten på flest decimaler. Det senaste resultat jag lyckats finna kommer från 2002 då Kanada, Ushio och Kuroda, samtliga japanare, lyckades beräkna 1 241 miljarder decimaler.




4. Talets uppbyggnad

Eftersom pi är ett irrationellt tal kan man undra om det aldrig upprepar sig. Om man tar de första 100 miljoner siffrorna av pi så finns varje sifferserie om 5 siffror någonstans minst en gång. De sex första decimalerna i talet (141592) återkommer efter 821 582 decimaler. Nästan alla 6-siffriga kombinationer finns med minst en gång.

För att kunna hitta någon logik bakom de ändlösa raderna av siffror man kan få ut ur pi kan man jaga länge. Många har använt lång tid för att hitta det mönster som ”borde” finnas där. Tittar man tillräckligt länge på siffrorna som fladdrar förbi ögonen kan man säkert till slut tycka att man ser ett mönster. Åtskilliga försök har gjorts och fler lär det bli.
För att fortsätta lite på ovanstående tema har vissa ”fantastiska” upptäckter gjorts i talets uppbyggnad. En man vid namn Monte Zerger har skrivit en artikel om talets uppbyggnad där han konstaterar att de 7: e, 22: a, 113: e och 355: e siffrorna i pi är talet 25. Då räknar han trean framför decimaltecknet som en siffra. Det som gör detta märkvärdig är att dessa siffror utgör de två bästa uppskattningarna för pi, 22/7 och 335/113.
Med lite sannolikhet kan man också konstatera att pi verkar vara ett magiskt tal. Talet sju har ju alltid varit speciellt i naturen när man talar om perioder. Veckan har sju dagar, var sjunde våg ska vara större osv. Matematikern John Conway påpekade att om man delar upp pi i block om 10, är sannolikheten för att ett av dessa block ska ha tio olika siffror ca 1 på 40 000. Underligt nog inträffar detta för första gången i pis sjunde block.


Väldigt länge har matematiker försökt lösa problemet med cirkelns kvadratur. Problemet går ut på att konstruera en kvadrat med exakt samma yta som en given cirkel. Det kan tyckas enkelt att genomföra detta, men det fanns vissa krav. För att beviset enkelt skulle kunna förenklas till Euklides teorem fick man endast använda passare och linjal. Dessutom fick inte lösningen ha ett oändligt antal steg. Idag kan man enligt David Blatner ”beräkna det relativt enkelt”. Vad som menas med det vet jag däremot inte riktigt, men sedan Lindemann visat att pi är transcendent är det bevisat att det är omöjligt att lösa cirkelns kvadratur inom Euklides begränsningar.



5. Лs matematik




Arkimedes bevisade att en cirkels yta är identisk med ytan av en rätvinklig triangel vars ena sida är lika med cirkelns area och den andra med dess omkrets.
Detta skedde på 200-talet e Kr.

5.1 Beräkna Л

För att beräkna pi kan man använda sig av in- och omskrivningar med polygoner (månghörningar), något som kallas exhaustionsprincipen. Själv tänker jag titta närmare på hur värdet på pi varierar när jag fördubblar sidorna på en hexagon. Liksom för Arkimedes och andra matematiker som använt sig av metoden märker jag ganska snart att det är ett tidskrävande arbete. Självklart kommer det att vara värt arbetet om jag märker någon skillnad i de olika pi-värden jag får fram i slutändan.


För att underlätta använder jag samma metod vid alla tre uträkningar. Bildernas ljusgrå streck visar de trianglar de bildar med den yttre månghörningen och de mörkgrå strecken visar trianglar som bildas av den inre månghörningen. I alla fall antas radien vara 1 cm.

Л beräknas genom ,

5.1.1 Exhaustionsprincipen med hexagoner


Jag börjar med att dela upp hexagonen i 6 trianglar och baserna i dessa trianglar ger mig sedan omkretsen:

Eftersom de sex trianglarnas medelpunktsvinklar tillsammans blir 360o är varje triangels medelpunktsvinkel 60o. Nu vet vi också att vinkel summan i en triangel är 180o och kan då räkna ut de två övriga vinklarna eftersom de är lika stora. Vi får då:
= 60o
Vi vet nu att det är liksidiga trianglar vi har att göra med. Och då blir det ju lätt att säga att omkretsen är 6 cm för den inre hexagonen.

Vid beräkning av den yttre hexagonen genomför jag följande beräkningar:

Mittpunktsvinkel: 60o. Höjden i vår triangel är ju densamma som cirkelns radie. Därför kan vi säga att sidan X (halva basen) = ≈ 1,1547
Omkretsen = 1,1547 ∙ 2 ∙ 6 = 6,9282
Cirkelns omkrets blir därmed medelvärdet av de båda hexagonernas omkretsar:
ger π ≈ 3,232050808

5.1.2 Exhaustionsprincipen med 12-hörningar


Denna figur visar en cirkel inskriven mellan två 12-hörningar. Även här antar jag att radien är 1 cm. Jag börjar också här med att beräkna omkretsen för den inre 12-hörningen. Jag använder samma metod här.


Varje triangel har nu toppvinkeln = 30o.
Omkretsen får jag med hjälp av sinussatsen:

= à X = X ≈ 0,5176 (där X är basen på triangeln)
X 12 ≈ 6,2117 cm (= omkretsen)

Beräkning av den yttre månghörningen:
Toppvinkeln: = 30o.
Därför kan vi säga att sidan X (halva basen) = ≈ 0,2679
Omkretsen = 1,1547 ∙ 2 ∙ 12 = 6,4308
Cirkelns omkrets blir därmed medelvärdet av de båda hexagonernas omkretsar:
ger π ≈ 3,160609425


5.1.3 Exhaustionsprincipen med 18-hörningar

Detta är en cirkel som omges av två 18-hörningar. Nu har antalet sidor tredubblats gentemot den första figuren vi räknade på. Vi genomför samma process som tidigare.

Alla trianglar som tillsammans bygger upp 18-hörningen har mittpunktsvinkeln 20o.
Genom sinussatsen: =
X= X (som är basen) ≈ 0,3472
Omkretsen = 6,2513 cm

Vid beräkning av den yttre hexagonen genomför jag följande beräkningar:

Mittpunktsvinkel: 60o. Höjden i vår triangel är ju densamma som cirkelns radie. Därför kan vi säga att sidan X (halva basen) = ≈ 0,1763
Omkretsen = 0,1763 ∙ 2 ∙ 18 = 6,3478
Cirkelns omkrets blir därmed medelvärdet av de båda hexagonernas omkretsar:
ger π ≈ 3,149776425













6. ...