Matematik - Talsystem

Nedanstående innehåll är skapat av Mimers Brunns besökare. Kommentera arbete

1. INNEHÅLL

1. INNEHÅLL 2
2. SYFTE 3
2.1 ANSATS 3
2.2 SYFTE & FRÅGESTÄLLNING 3
2.3 MATERIAL 3
2.4 DISPOSITION 3
3. DE FÖRSTA RÄKNESÄTTEN 4
4. ROMERSKT SIFFERSYSTEMET 5
5. BABYLONISK TALSYSTEM 6
6. DET ARABISKA SIFFERSYSTEMET 7
6.1 NOLLAN OCH DECIMALSYSTEMET 7
6.2 POTENSER 7
7. VARFÖR VALDE VI DET SYSTEM VI HAR IDAG? 8
7.1 BABYLONISKA TALSYSTEMET 8
7.2 ROMERSKA TALSYSTEMET 8
7.3 DET DECIMALA POSITIONSSYSTEMET 8
7.4 VARFÖR VALDE VI TIO SOM BAS 8
8. KÄLLOR 9


2. SYFTE
2.1 Ansats
Vi har valt att göra en jämförelse mellan olika talsystem, vi har begränsat oss till de romerska, arabiska och babyloniska talsystemen.

2.2 Syfte & frågeställning
Syftet med vårt arbete är att se skillnader och likheter i de olika talsystemen som vi valt, samt hur talsystem har utvecklats genom historien.

Frågeställning:
Vad har de olika talsystemen för likheter?
Hur har de utvecklats genom historien?
Vad har de olika talsystemen för positiva och negativa sidor?

2.3 Material
Vi lånar böcker på bibliotek och söker information på Internet.

2.4 Disposition
Vi har delat in vårt arbete i tre delar.
I den första delen beskriver vi de första ”talsystemen” som man känner till.
I den andra delen beskriver vi de utvalda talsystemen och berättar kort historien bakom dem.
I den sista delen jämför vi talsystemen och diskuterar positiva och negativa sidor hos de olika talsystemen.


3. DE FÖRSTA RÄKNESÄTTEN
Den tidigaste formen av tal och räkning pågick och pågår inne i huvudet på människan. Enligt vad forskarna hittills har kommit fram till så är människan det enda djuret med ett sinne för tal. Ett djur kan visserligen skilja på mängden av mat i en mindre och en större hög. Men djur tänker bara i antal när det gäller överlevnad eller mat. Människor har förmågan att tänka abstrakt, och föreställa sig tal och formler som i sig inte har någon egentlig mening förrän man sätter de i ett sammanhang.
Innan man började skriva ner tal så använde man sig av s.k. primitiva talsystem. Ett primitivt talsystem var oftast uppbyggt av symboler som representerade antalet. T.ex. att man använde en sten för varje djur man dödat eller. Ett annat sätt att använda symbolisk representation på är att karva in streck i trä, eller ben. Det äldsta exemplet på detta som man har funnit var ett vargben man hittade i Mähren. Det hade inristade streck som var uppdelade i grupper om 5, det 25:e strecket var dessutom dubbelt så långt som de andra. Detta fyndet hittades 1937 och daterades till att vara 30 000 år gammalt.
Inristningar av streck i olika föremål förekom ända fram till 1800-talet. Det var i England som man använde sig av s.k. karvstockar. Dessa användes av staten till t.ex. kravbrev och skattekvitton. Detta system hade man använt sig av sedan 1300-talet. När man avskaffade karvstockarna 1828 hade man ofantliga mängder trästickor i valven idet brittiska parlamentshusets. Det var inte ett vanligt räknesystem såsom det vi använder idag. Olika symboler symboliserade olika antal beroende på vad det var för varor man räknade.
tt annat sätt att räkna innan man hade vare sig inkarvningar i pinnar eller skrivna tal, var att räkna på det man hade närmast till hands. Fingrarna. När vi har räknat alla våra 10 fingrar får man ta till det som är näst lättillgängligast och fortsätter med 10 tår. Systemet att räkna på fingrar kan verka vara banalt och begränsat, men faktum är att man kan utföra avancerade beräkningar på fingrarna genom att böja fingrar och multiplicera och addera. Detta uppfanns av en Beda och kallas således för Bedas fingersignaler för tal.

4. ROMERSKT SIFFERSYSTEMET
Rom började växa upp som små byar uppe på några lättförsvarade kullar nära ett viktigt vadställe över floden Tibern. Vid 600-talet f.Kr. började Roms verkliga urbanisering. Kärr dränerades, torg anlades, ler hyddorna ersattes av hus med tegeltak och tempel åt gudarna byggdes. Under nästan 1000 år fortsatte det romerska riket att utvidgas och vid 100-200 e.Kr. hade det nått sin största storlek och sträckte sig kring hela medelhavet. Självklart var ett sådant imperium ett av världens centrum för dom flesta sortera vetenskap. Den tekniken som romarna använde var ofta bättre än den som användes på medeltiden, och det är självklart att romarna hade ett välutvecklat räknesystem. Men hur välutvecklat är det egentligen? Till att börja med är det romerska systemet uppbyggt på ett annat sätt än vårat, arabiska, positionssystem. Lägre siffror, i det romerska systemet, som står vänster om en högre siffra skall subtraheras och om den står till höger skall dom adderas med varandra. Dom använder alltså ett s.k. additions och subtraktionssystem. Här är ett exempel på hur dom skriver ett tal:
MDCLXVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1666.
När man börjar räkan med det romerska systemet märker man nog ganska snabbt att det är smidigare med det arabiska, att addera eller subtrahera går men skall man försöka sig på mer avancerade beräkningar än det, t.ex. multiplikation, blir det komplicerat. Försök t.ex. räkna ut XVIII gånger XI.
Här är dom grundläggande tecknen i det romerska
talsystemet:

I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Dom romerska siffrorna används fortfarande men mest
i dekorativa syften.

5. BABYLONISK TALSYSTEM
Vid början av 1800-talet gjordes utgrävningar i Mellersta Östern som talade om att flertal civilisationer hade funnits där åtminstone 4000 år innan det att vi började vår tidräkning. Den gamla sumeriska kulturen började visa sig, en kultur som hade varit okänd i årtusenden.
Man hittade lertavlor med kilskrift på som visade att sumerna uppfunnit ett talsystem. Men sumerna blev besegrade av babylonierna för nästan 4000 år sedan, babylonierna tog över och utvecklade sumernas talsystem.
Tack vare lertavlorna vet man mycket mer om babylonisk matematik än om egyptisk som skrev på ömtåliga papyri. Hundratusentals lertavlor finns bevarade, en stor del av dem är outtolkade eller på väg att vittra sönder . Babylonierna använde lertavlorna att skriva upp tabeller med och matematiska lösningar på. Babyloniernas räknekonst byggde ofta på dessa färdigt uppgjorda tabeller. Tabellerna kunde innehålla multiplikationer, divisioner, bråkräkning, beräkning av kvadrat och kubikrötter och mycket annat som att beskriva problem med dammar, skyddsvallar och schaktning. Beräkningarna var mycket viktiga då det var ett måste att t.ex. konstbevattna marken för att klara jordbruket.
Talsystemet i Babylonien byggde på talet 60 som bas vilket utgör den stora skillnaden mellan vårt arabiska talsystem som har basen 10. Redan före 2000f.Kr. infördes ett positionssystem som gör att siffrans placering i talet avgör dess värde i potenser av 60.
I det babyloniska systemet behövs 59 tecken för att uttrycka alla tal, i vårt arabiska behövs endast 9 tecken. Nedan ser man exempel på hur det kunde se ut.

Här ser man att talet 60 tecknas likadant som talet 1, och talet 61 skrivs alltså därför med samma tecken som talet 2, men med större mellanrum mellan kilarna. Men det kunde ju vara svårt att veta om man menade 1 eller 60, ofta fick samanhanget avgöra det. Ett viktigt tecken fattas dock, tecknet för en tom plats som vi kallar ”noll”, vilket är en mycket stor brist. Men så småningom införde man ett tecken för ändamålet, skev man tecknet
Men detta placerades aldrig slutet av ett tal.
Babylonierna kunde också skriva icke hela tal, t.ex. talet 3/5 skrevs




Att tid och vinklar mäts som de gör idag är ett arv ifrån Babylonierna, anledningen att vi håller fast vid detta sättet att räkna är för att basen 60 i vissa fall är lättare att räkna med. Talet 60 har nämligen fler primdelare än talet 10, vilket gör att ”fler divisioner går jämnt ut”. Delarna till 60 är 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, medan 10 bara har delarna 1, 2, 5. Det var även därför som babylonierna valde basen 60.


6. DET ARABISKA SIFFERSYSTEMET

6.1 Nollan och decimalsystemet
Det arabiska siffersystemet är det som är vanligast i världen idag. Under åren har fler och fler människor insett att det arabiska systemet är det enklaste och mest effektiva. Uppfinningen av nollan ( av latinets nullum, ”ingenting”; på andra språk kallas den ”zero” , av det arabiska sifr, ”tom”, vårt ”siffra”) bidrog i särskilt hög grad till att omvandla räknandet från en konkret konst till en abstrakt. Den gjorde platsvärdet till en lika viktig anvisning om en siffras innebörd som dess fysiska utseende. För att kunna fastställa ett talteckens verkliga värde måste man kombinera dess nominella värde med dess platsvärde i talet. Platsvärdet fick man fram genom att räkna antalet platser eller positioner från höger till vänster: den första representerade ental, den andra tiotal, den tredje hundratal, den fjärde tusental och så vidare. För varje steg en siffra flyttades åt vänster multiplicerades alltså dess värde med tio (det är därför det kallas decimalsystem, av latinets decem, ”tio”). Samma siffra, till exempel 8, kunde sålunda beteckna åtta ental, åtta tiotal, åtta hundratal, åtta tusental och så vidare, beroende på var i talet den var placerad. Om man multiplicerade siffrornas nominella värden med deras positionsvärden och lade ihop resultaten ficka man talets värde. Siffrorna 888 representerar exempelvis 8 enheter plus 8 tiotal plus 8 hundratal eller, från höger till vänster, 800+80+8=888.
Vi har tillägnat oss decimalsystemet så grundligt att vi finner det självklart. Vi föreställer oss rentav våra tio siffror som ”naturliga” eller ”givna”. Men i det medeltida Europa fann man i århundraden betäckningssättet så mystiskt och svårt att man fördömde den arabiska matematiken som ett djävulens påfund och trodde att de som använde de nya metoderna var trollkarlar och bedragare.

6.2 Potenser
Det var Arkimedes som insåg svagheten i det grekiska räknesystemet (det var positionssystemet som saknades) och föreslog i sin skrift Sandräknaren (Psammites) att man skulle använda potenser. Utan att känna till positionssystemet delar han in stora tal i olika grupper och inför potenser i uträkningarna. Han insåg också, att am * an =am+n , som är grunden för räkning med logaritmer.
Begreppet ”upphöjt till” började användas av Heron (ca 100 e.Kr.) och Diofantos (ca 250 e.Kr.). Araberna utvecklade teorin ca år 1000 e.Kr. genom al-Karaji, som gjorde en systematisk studie av potenser och presenterade regler för multiplikation och division, en presentation som haltade en del på grund av okunskapen om negativa tal.

Ett bevis på arabernas matematikframsteg finner vi i formeln

13 + 23 + 33 + 43 +…+103 =(1+2+3+4+…+10)3

Ovanstående är skrivet med ett modernt symbolspråk. På 1500-talet använde man förkortningar, så det vi idag skulle skriva x3 + 13x2 +8x, skrevs då cu p 13 ce p 8 co, där cu står för x3 , p för plus, ce för x2 och co för x. (ur Kristin Dahls: Den fantastiska matematiken.)



7. VARFÖR VALDE VI DET SYSTEM VI HAR IDAG?
Talsystemen är ett system som i första hand försöker att benämna heltalen. Vi har genom tiderna använt en hel del olika talsystem, men vilket av talsystemen är egentligen bäst och vilka fördelar och nackdelar finns det med vårt talsystem som vi använder idag.

7.1 Babyloniska talsystemet
Det babyloniska talsystemet liknar dagens decimala talsystem en hel del men har talet 60 som bas. Istället för att använda dagens siffror använder man sig av tecken som ser ut som pilar. Pilarna är placerade åt olika håll och betecknar på så sätt olika värde. Babylonierna har visserligen ett positionssystem men man använder sig bara av ett tecken som placeras på två olika sätt. Det kan på så sätt bli ganska jobbigt att läsa långa tal eftersom man måste räkna samma tecken flera gånger. Om man sedan skall multiplicera talet med 60 kan det bli väldigt krångligt att lösa talet, det är mycket mera naturligt att lösa ha tio som bas.
7.2 Romerska talsystemet
Det romerska talsystemet saknar positionssystem vilket kan göra att det blir jobbigt att lösa riktigt stora tal. Romarna hade istället ett system där man adderade de olika talen med varandra.
Man använde en mängd olika tecken:
Talets värde i dagens läge Romerska tecknet
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Om man ville ha siffran fyra så satte en etta framför tecknet för fem. Talet fyra skrevs alltså IV. Ville man däremot ha ett stort tal fick man addera de olika talen med varandra.
Talet 1989 skulle skrivas som MCMLXXXIX på romerska siffror.
1000 + (100 -1000) + 50 + 10 + 10 + 10 + ( 1 - 10)

7.3 Det decimala positionssystemet
Vårt talsystem är ett så kallat positionssystem där en siffras värde bestäms av vilken plats i talet siffran har. Det kommer ursprungligen från Indien. I det system vi använder idag används basen 10, vilket betyder att för varje steg en siffra flyttar åt vänster så multipliceras den med 10. Det decimala positionssystemet har trängt undan de gamla romerska, grekiska och babyloniska. Det nya talet noll som kom ihop med vår dags talsystem kom att fylla luckorna som blev mellan siffrorna.

7.4 Varför valde vi tio som bas
Vi har sökt fakta på Internet och...